Berechnung von Tau-b

Eine etwas andere Vorgehensweise wird mit der Berechnung von Tau b verfolgt. Die Logik von Tau b beruht darauf, jede einzelne Untersuchungseinheit mit jeder anderen Untersuchungseinheit zu vergleichen. Man könnte sagen, diese Vergleiche laufen paarweise ab, daher ist im Folgenden oft von „Paaren“ die Rede.

Beim paarweisen Vergleich bei Ordinalskalenniveau werden jeweils zwei Objekte beziehungsweise Personen bei zwei Bewertungen gleichzeitig betrachtet. Ich kann also Läuferin 1 und Läuferin 2 als erstes Paar bilden. Jetzt haben beide Läuferinnen eine Note von Punktrichter A (x) und eine Note von Punktrichter B bekommen (y)
Es wird nun folgendermaßen vorgegangen:

Man führt die X-Betrachtung durch, d.h. es wird untersucht ob Läuferin 1 besser als Läuferin 2 von Punktrichter A bewertet wurde. Anschließend wird betrachtet ob  Läuferin 1 AUCH von Punktrichter B als Läuferin 2 bewertet wurde (sog. Y-Betrachtung).
--> Es werden also immer zwei Objekte (in diesem Fall Läuferinnen) mit zwei Bewertungen (Punktrichter A und Punktrichter B) betrachtet.
Von Konkordanz spricht man, wenn Läuferin 1 von beiden Punktrichtern besser (oder schlechter) als Läuferin 2 bewertet wurde.

Ein Wertepaar ist diskordant, wenn Läuferin 1 von einem der Punktrichter besser und von einem schlechter als Läuferin B Bewertet wurde.

Wenn Läuferin 1 von einem Punktrichter dieselbe Note bekommt wie Läuferin 2 spricht man von einem Tie.
Dabei gilt: Kommt dieselbe Note von Punktrichter A handelt es sich um ein Tie x, kommt dieselbe Note vom Punktrichter B um ein Tie y und bewerten beide Punktrichter beide Läuferinnen gleich spricht man von einem Tie xy.

--> Tau b betrachtet das Verhältnis zwischen konkordanten und diskordanten Paaren unter Berücksichtigung der Ties.

Zum besseren Verständnis ein paar Beispiele:

Konkordantes Paar:

Läuferin 1 wird von Punktrichter A (5,7 vs. 5,3) und von Punktrichter B (5,5 vs. 5,4) besser bewertet als Läuferin 2.

Konkordantes Paar:

Läuferin 1 wird von Punktrichter A (5,2 vs. 5,4) und von Punktrichter B (5,1 vs. 5,2) schlechter bewertet als Läuferin 2.

Diskordantes Paar:

Läuferin 1 wird von Punktrichter A schlechter als Läuferin 2 bewertet, von Punktrichter B wird sie aber besser als Läuferin 2 bewertet.

Diskordantes Paar:

Läuferin 1 wird von Punktrichter A besser als Läuferin 2 bewertet, von Punktrichter B wird sie aber schlechter als Läuferin 2 bewertet.

Tie x:

Die beiden Läuferinnen erhalten von Punktrichter A dieselbe Bewertung. Es kann kein Rang gebildet werden.

Tie y:

Die beiden Läuferinnen erhalten von Punktrichter B dieselbe Bewertung. Es kann kein Rang gebildet werden.

Tie xy:

Die beiden Läuferinnen erhalten von Punktrichter A und Punktrichter B dieselbe Bewertung. Es kann bei beiden Bewertungen kein Rang gebildet werden.

Für Tau b gilt:

• Tau b ist definiert als das Verhältnis des Übergewichts konkordanter oder diskordanter Paare zur Gesamtzahl aller möglichen Paare
• Tau b liegt immer zwischen -1 und +1. Ein Zahlenwert Null für Tau b besagt, dass die Anzahl der konkordanten und diskordanten Paare gleich groß ist, ein Zahlenwert +/- 1 sagt aus, dass es entweder nur konkordante oder nur diskordante Paare gibt.
• Tau b kann bei beliebig großen Tabellen angewendet werden, kann aber nur dann einen Wert von +/- 1 annehmen, wenn es sich um eine so genannte quadratische Tabelle (z.B. 3x3-Tabelle) handelt.
• Für 2*2 Tabellen ergibt der Koeffizient Tau b denselben Zahlenwert wie der Koeffizient Phi

Zur Verdeutlichung ein Daten-Beispiel:

Es gibt folgende Paare:

Tau b berechnet sich nun folgendermaßen:

Mit :
Nc: Anzahl konkordanter Paare
Nd: Anzahl diskordanter Paare
Tx: Ties in x
Ty: Ties in y

Für das Beispiel ergibt sich: